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Algèbre De Boole (logique)

Algèbre de Boole (logique)

L'algèbre de Boole est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. Pour la structure algébrique d'algèbre de Boole voir Algèbre de Boole (structure). Le nom provient de George Boole, un mathématicien britannique qui durant le milieu du restructura complètement la logique en un système formel. Plus spécifiquement, l'algèbre booléenne permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs de la logique des propositions. Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques. Elle fut utilisée la première fois pour les circuits de commutation téléphoniques par Claude Shannon. L'algèbre de Boole des fonctions logiques permet de modéliser des raisonnements logiques, en exprimant un « état » en fonction de conditions. Par exemple : : Communication = Émetteur ET Récepteur :: Communication est « VRAI » Si Émetteur actif ET Récepteur actif (c'est une fonction logique dépendant des variables Émetteur et Récepteur) : Décrocher = ( Décision de répondre ET Sonnerie ) OU décision d'appeler :: Décrocher est « VRAI » Si on entend la sonnerie ET que l'on décide de répondre OU si l'on décide d'appeler. L'algèbre de Boole étant un domaine commun à trois disciplines, on rencontre des notations différentes pour désigner un même objet. Dans le reste de l'article, on indiquera les diverses notations, mais on en privilégiera une pour conserver une certaine homogénéité.

Algèbre de Boole des valeurs de vérité

On appelle B l'ensemble constitué de deux éléments appelés valeurs de vérité . Cet ensemble est aussi noté
- B =
- B = \. On privilégiera dans la suite la notation B = . Sur cet ensemble on peut définir deux lois (ou opérations ou foncteurs), les lois ET et OU et une transformation appelée le complémentaire, l'inversion ou le contraire.

La loi ET

Elle est définie de la manière suivante : a ET b est VRAI si et seulement si a est VRAI et b est VRAI. Cette loi est aussi notée
- \cdot \,
- \wedge.
- « & » ou « && » dans quelques langages de programmation (Perl, C...)
- « AND » dans certains langages de programmation
- « ∧ » dans quelques notations algébriques, ou en APL On privilégiera dans la suite la notation \cdot \, On peut construire la table de cette loi (comme une table d'addition ou de multiplication de notre enfance) mais on ne la confondra pas avec une table de vérité

La loi OU

Elle est définie de la manière suivante : a OU b est VRAI si et seulement si a est VRAI ou b est VRAI. (notons que si a est vrai et que b est vrai aussi, alors a OU b est vrai.) Cette loi est aussi notée
- + \,
- « | » ou « || » dans quelques langages de programmation
- « OR » dans certains langages de programmation
- « ∨ » dans quelques notations algébriques ou en APL. On privilégiera dans la suite la notation + \, mais on prendra garde que cette loi n'a pas de rapport avec l'addition que l'on connaît. On peut construire la table de cette loi:

Le contraire

Le contraire de "a" est VRAI si et seulement si a est FAUX. Le contraire de a est noté
- non-a
- \bar
- \neg (a)
- « ! » dans quelques langages de programmation
- « NOT » dans certains langages de programmation
- « ~ » dans quelques notations algébriques ou en APL. On privilégiera dans la suite la notation \bar. On obtient alors \bar=1 et \bar=0

Propriétés

Associativité

Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles:
( a + b ) + c = a + (b + c) = a + b + c
( a . b ) . c = a . (b . c) = a . b . c

Commutativité

L'ordre est sans importance.
a + b = b + a
a . b = b . a

Distributivité

Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer:
a . ( b + c ) = a . b + a . c
Attention: comportement différent par rapport aux opérateurs + et
- habituels:
a +( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Idempotence

a + a + a [...] = a
a . a . a [...] = a

Complémentarité

a = \overline
: (« La lumière est allumée » = « la lumière n'est pas non allumée »)
a + \overline = 1
: (« VRAI » SI lumière_allumée OU SI lumière_non_allumée → c'est toujours le cas → vrai dans tous les cas → toujours VRAI, donc =1) a . \overline = 0
: (« VRAI » SI lumière_allumée ET SI lumière_non_allumée → impossible → faux dans tous les cas → toujours FAUX donc =0)

Structure

On retrouve alors toutes les propriétés qui confèrent à B une structure d'algèbre de Boole)

Priorité

Pour faciliter leur compréhension, il a été décidé que ces opérations seraient soumises aux mêmes règles que les opérations « de tous les jours », la fonction ET (multiplication logique) est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU (somme logique) ; on peut, pour s'aider, placer des parenthèses dans les opérations. : Exemple : :
: On cherche a . b + c = ???
: D'abord on calcule a . b:
: a . b = 0 . 1
: 0 . 1 = 0
: Puis, on calcule 0 + c:
: 0 + c = c
: c = 1
: Le résultat final est donc:
: a . b + c = 1

Théorème de De Morgan

\overline = \overline . \overline : Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a et b sont fausses.
\overline = \overline + \overline : Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a ou b sont fausses.

Fonctions logiques

Mathématiquement, une fonction logique ou opérateur logique est une application de Bn dans B. En électronique, une fonction logique est une boîte noire qui reçoit en entrée un certain nombre de variables logiques et qui rend en sortie une variable logique dépendant des variables d'entrée. L'article fonction logique précise comment construire les boîtes noires de quelques fonctions fondamentales Une table de vérité permet de préciser l'état de la sortie en fonction des états des entrées. On démontre que toute fonction logique peut se décrire à l'aide des trois opérations de base.
- +\,
- \cdot\,
- \bar\,

Fonctions logiques fondamentales

Elles sont issues des trois opérations de base et définissent alors
- une fonction de B dans B : le complémentaire ou inversion
- deux fonctions de B2 dans B qui sont la somme (ou OU) et le produit (ou ET)

Fonctions logiques composées

Ce sont les fonctions logiques à deux variables. Parmi celles-ci, on en dénombre certaines suffisamment intéressantes pour qu'on leur donne un nom.

OU exclusif

Le OU étudié jusqu'à présent doit se comprendre de la manière suivante : « l'un ou l'autre ou les deux ». Il est également appelé « OU inclusif ». Le OU exclusif (ou XOR) s'entend comme : « l'un ou l'autre mais pas les deux ». Il se compose de la manière suivante : :a\ XOR\ b = (a+b).\overline Le « ou exclusif » est parfois noté par le signe arithmétique différent de, auquel il est équivalent. Fonctionnellement, on utilise aussi un + entouré: a ⊕ b.

Équivalence

L'équivalence (notée EQV) est vrai si les deux entrées ont la même valeur et faux sinon. Elle se compose comme suit : :a\ EQV\ b = \overline+(a.b) On peut aussi dire que : :a\ EQV\ b = \overline Il arrive que l'équivalence soit notée par le signe « = », bien que ce choix ne soit pas recommandé compte-tenu des autres sens possibles attachés à ce signe.

Implication

L'implication (notée IMP) s'écrit de la manière suivante : a\ IMP\ b = \overline+b Cette opération n'est pas commutative. a est une condition suffisante pour b, qui, elle, est une condition nécessaire pour a.

Inhibition

L'inhibition (notée INH) se compose comme suit : :a\ INH\ b = a.\overline Cette opération n'est pas commutative.

Exemple de fonctions logiques à trois ou quatre variables

Fonction logique à trois variables

Si on reprend l'exemple du téléphone, on se trouve en présence de 3 variables :
- a = "le téléphone sonne"
- b = "on a envie de répondre"
- c= "on a envie d'appeler quelqu'un" la variable d = "on décroche" est fonction logique des 3 précédentes. On écrira que :d = ab + c car on décroche quand ça sonne et qu'on a envie de répondre ou quand on a envie d'appeller quelqu'un. La table de vérité de cette fonction d est alors la suivante. L'observation de la table montre que notre analyse première comportait une situation absurde : si le téléphone sonne et qu'on n'a pas envie de répondre, on ne décroche pas même si on a envie d'appeler quelqu'un. Il faut donc modifier la table de vérité ainsi :

Fonction logique à quatre variables

Un bon élève s'interroge s'il est sage de sortir un soir. Il doit décider en fonction de quatre propositions :
- a = il a assez d'argent
- b = il a fini ses devoirs
- c = le transport en commun est en grève
- d = l'auto de son père est disponible Cet élève pourra sortir si :
- il a assez d'argent, a = vrai
- il a fini ses devoirs, donc b = vrai
- le transport en commun n'est pas en grève, donc c = faux
- ou si l'auto de papa est disponible, donc d = vrai Donc l'expression logique de sortir en fonction de l'état des variables a, b, c et d ; et elle peut s'écrire ainsi : :Sortir = a.b.(+d)

Minimisation d'une expression

Une fonction logique peut être déterminée
- soit sous forme d'une expression faisant intervenir les 3 opérations (+\, , \cdot\, , \bar\,)
- soit sous forme de sa table de vérité. Dans ce cas il sera toujours possible d'écrire cette fonction comme une somme de produits. Exemple: Dans l'exemple de "téléphoner2", on s'aperçoit que le résultat est à 1 quand (a, b , c) = (0 , 0 , 1) ou (0 , 1 , 1) ou (1 , 1 , 0) ou (1 , 1 , 1). :Cela permet de définir d2 par d2 =\bar a.\bar b.c + \bar a.b.c + a.b.\bar c + a.b.c Il est alors intéressant de trouver une expression minimisant le nombre de termes et le nombre de lettres dans chaque terme. C'est l'objectif de certaines techniques comme la méthode de Quine-Mc Cluskey, les diagrammes de Karnaugh… Exemple (suite) : la somme précédente peut être réduite en : d2 =\bar a.c + a.b par factorisation des deux premiers termes par \bar a.c et factorisation des deux derniers termes par a.b \,

Arbre d'expression

Les expressions logiques sont souvent représentées en informatique sous forme d'arborescence. Cette dernière comporte un sommet (la racine en fait) auquel sont rattachés différents sous arbres (ou branches). Les bifurcations sont des sommets internes. Le nombre de sous-arbres reliés à un même sommet est appelé arité. Les sommets sans issue sont appelés feuilles. Chaque sommet interne est identifié par un opérateur booléen alors que les feuilles représentent les variables qui subissent ces opérations.

Voir aussi

Liens internes

Fonction logique ~ Calcul des propositions ~ Systèmes de numération ~ Électronique numérique ~ Neurone ~ George Boole ~ Opérations sur les bits

Lien externe

[http://stielec.ac-aix-marseille.fr/cours/abati/algboole.htm Algèbre de Boole appliquée à l'électronique] Catégorie:Algèbre abstraite Catégorie:Automatisme Catégorie:Logique ja:ブール代数 th:พีชคณิตแบบบูล

Mathématique

Les mathématiques peuvent être définies de plusieurs façons, complémentaires :
- la science des nombres et de l’espace
- la science des formes de déduction
- la science des structures, des modèles ou de tous les mondes possibles On pourrait aussi parler de la Mathématique pour souligner que les diverses composantes de celle-ci (algèbre, analyse, géométrie, etc.) sont en fait seulement des façons différentes d'étudier ou de créer des systèmes structurés par des relations (notion généralisée de graphes). Dans cette optique la mathématique est vue comme un édifice à construire ou à reconstruire. Mathématique vient du grec μάθημα (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques. L'adjectif mathématique qualifie tout objet, concept ou terme relatif aux mathématiques. Dans ce sens il s'accorde au mot auquel il est associé, contrairement au terme qui désigne la science des mathématiques, qui est le plus souvent employé au pluriel. La Mathématique, au singulier, n'est plus guère usitée que de manière didactique. L'expression « c'est mathématique » signifie qu'il existe une logique interne et inéluctable propre à l'évènement ou à la série d'évènements ainsi commentée. :« La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. » ::Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Définitions des mathématiques

La science des nombres et de l’espace

L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...

La science des formes de déduction

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste. Cependant, en mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple. Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées. Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

La science de tous les mondes possibles

Pour un mathématicien, rien n’est impossible, sauf ce qui est contradictoire. Par là, on veut dire qu’un discours non-contradictoire parle d’un monde concevable, imaginable, idéal. Les mondes possibles sont parfois appelés des structures, lorsqu’ils sont très abstraits, ou des modèles. De ce point de vue, la mathématique est la théorie de tout ce qu’on peut imaginer. On croit souvent à tort que la connaissance de tous les possibles est une ambition démesurée et irréalisable mais elle ne l’est pas. Elle est à notre portée. Il est même très facile de connaître des vérités universelles, valables pour tous les possibles, le principe du tiers exclu par exemple. Tout énoncé sur un monde possible y est ou bien vrai, ou bien faux. Ce n’est pas forcément très intéressant mais c’est un début. Le travail des mathématiques pures consiste à augmenter notre capacité à connaître tous les possibles. Il se trouve qu’il y a des théories particulières (les nombres, les groupes, ...) qui jouent un rôle privilégié dans cette connaissance, et qu’elles sont souvent, mais pas toujours, les mêmes que celles qui intéressent les mathématiques appliquées. C’est pourquoi les structures étudiées ont souvent leur origine dans les sciences naturelles, plus communément en physique. Toutefois, un grand nombre de structures sont purement internes aux mathématiques, unifiant différents champs d'application ou étant des outils aidant aux calculs. En fait, les mathématiques sont la science de la mesure.

La logique et les théories des ensembles

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes. Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
- Fondation des mathématiques Logique
- Logique
- Calcul propositionnel
- Calcul des prédicats
- Déduction naturelle
- Logiques modales
- Théorie des modèles
- Incomplétude Théories des ensembles
- Théorie des ensembles
- Axiomes de Zermelo-Fränkel
- Théorie des catégories

L’arithmétique et les mathématiques discrètes

Arithmétique
- Théorie des nombres
- Congruences
- Divisibilité
- PGCD / PPCM
- Théorème de d'Alembert-Gauss
- Identité de Bézout
- Petit théorème de Fermat
- Équations diophantiennes
- Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle
- Cryptologie
- Fonctions L
- Dernier théorème de Fermat Mathématiques discrètes
- Mathématiques discrètes
- Théorie des graphes

Les géométries


- Géométrie
- Coupe pentagonale de la pyramide à base carrée
- Géométrie euclidienne
- Géométries non euclidiennes
- Écrire les figures de la géométrie
- Géométrie projective
- Géométrie différentielle
- Géométrie algébrique
- Géométrie non commutative
- Courbe plane
- Orientation
- Anamorphose Trigonométrie
- Trigonométrie classique et formules
- Trigonométrie sphérique

L’algèbre


- Algèbre
- Structure algébrique
- Algèbre élémentaire
- Algèbre abstraite
- Théorie des catégories
- Théorie des groupes
- Algèbre linéaire
- Algèbre multilinéaire
- Théorie de la représentation

L’analyse et la topologie

Analyse
- Analyse
- Suites
- Séries
- Analyse réelle
- Nombres complexes, Analyse complexe
- Analyse fonctionnelle
- Algèbre des opérateurs
- Analyse p-adique
- Analyse rigide
- Équations différentielles
- Équations aux dérivées partielles
- Analyse non standard
- Analyse vectorielle
- Intégrale de Lebesgue
- Intégrale de Riemann
- Développement limité Topologie
- Topologie
- Espaces topologiques
- Espaces métriques
- Topologie algébrique
- Théorie des nœuds
- Théorie des tresses
- K-théorie

La théorie des probabilités


- Probabilités
- Statistiques

Mathématiques appliquées

Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
- Recherche opérationnelle
- Optimisation
- Modèle mathématique
- Probabilité
- Statistiques
- Mathématiques financières
- Mathématiques commerciales

Mathématiques récréatives


- Mathématiques récréatives
- Jeux mathématiques

Mathématiques élémentaires (non universitaires)


- Mathématiques élémentaires
- Algèbre élémentaire
- Analyse élémentaire
- Arithmétique élémentaire
- Géométrie élémentaire
  - Aire de surfaces usuelles
  - Solides usuels
  - Volume de solides usuels
- Logique élémentaire
- Probabilité élémentaire
- Statistique élémentaire Statistique élémentaire Techniques de calcul
- Techniques de calcul mental
- Règle à calcul
- Boulier
- Liste des articles de technique de calcul
- Critère de divisibilité
- Calculs de longueur

Histoire des mathématiques


- Histoire des mathématiques
- Histoire des polynômes
- Histoire du calcul infinitésimal

Voir aussi

Annexes


- Wikipédia:Index thématique
- Mathématiciens célèbres
- Abréviations en mathématiques
- Associations de mathématiciens
  - :en:Clay Mathematics Institute
  - Association Bourbaki
  - Femmes et mathématiques
  - Société Mathématique de France
  - Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
- Concours de mathématique
  - Olympiades de mathématiques
- Médaille Fields
- Nombre
- Norme d'opérateur
- Numération
  - Numération romaine
- Tables
  - Table d'addition
  - Table de multiplication
  - Table des bases
  - Table des diviseurs
  - Table des facteurs premiers
  - Table des symboles mathématiques
  - Table de constantes mathématiques
  - Table de limites
  - Table de dérivées
  - Table de primitives
  - Table d'intégrales

Liens internes


- Conjecture
- Construction des objets courants
- Erreur de signes
- Langage formel mathématique
- Liste des articles de mathématiques
- Liste des fonctions mathématiques
- Liste des nombres
  - Ordre de grandeur (nombre)
- Nombre figuré
- Liste des 23 problèmes de Hilbert
- Vocabulaire multilingue mathématique

Liens externes


- [http://math-editor.sourceforge.net/fr Barre Maths] Un modèle libre pour Microsoft Word permettant d'écrire des formules mathématiques très efficacement
- [http://www.apprendre-en-ligne.net/madimu/ Madimu] Un cours complet sur tous les thèmes traités de la 1ère à la 3e année de lycée... en Suisse
- [http://dmoz.org/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire Mathématiques dmoz.org]
- [http://www.les-mathematiques.net www.les-mathematiques.net] Cours de qualité niveau deug/licence/agreg
- http://planetmath.org/ : encyclopédie collaborative, libre (GFDL) en anglais sur les mathématiques.
- [http://www.ilemaths.net l'île des mathématiques] : cours et exercices pour le collège et lycée, forums d'entraide scolaire.
- [http://www.mathematex.net/phpBB2/index.php MathemateX] Forum d'entraide mathématiques avec support Latex
- [http://www.maths-forum.com/ Forum Mathématiques] Forum d'entraide mathématiques
- [http://www.ac-creteil.fr/Colleges/93/jmoulinmontreuil/mathematiques/menu/frameset.html Maths au collège :] animations Flash illustrant les plus célèbres démonstrations du théorème de Pythagore, des illusions d'optique et des courbes du plan tracées dynamiquement (hypocycloïdes...).
- [http://maxima.sourceforge.net/ Maxima], le logiciel libre (GPL) le plus sophistiqué pour les opérations algébriques.
- [http://pari.math.u-bordeaux.fr/ PARI/GP], un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
- [http://www.chez.com/ophtasurf/illusion.htm Illusions d'optique] : des centaines d'illusions d'optique géométriques
- [http://perso.wanadoo.fr/jpq/ perso.wanadoo.fr/jpq/] propose des animations Java pour illustrer des notions de mathématiques et en particulier de probabilités.
- [http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini Bac à Maths] des documents étoffés pour le lycée et les études supérieures.
- [http://www.mathprepa.com Mathprépa.com] : une zone de mathématiques pour étudiants en classes préparatoires
- [http://www.xasa.com/directorio/mozilla/Top/World/Fran%c3%a7ais/Sciences/Math%c3%a9matiques/ Répertoire, Usenet]
- [http://www.forum.math.ulg.ac.be/ Math en ligne] : Forum d'aide en math fait par l'université de Liège
- [http://www.chronomath.com/ Chronomath] : Une chronologie des mathématiques très riche.
- [http://www.maths-express.com/ Maths-Express] : Des annales pour le baccalauréat, concours général et olympiades.
- [http://forum.maths-express.net/ Forum de maths] : Pour les élèves de lycée préparant le baccalauréat, le concours général ou les olympiades.
- [news:fr.sci.maths Forum Usenet francophone]; ses [http://groups.google.fr/groups?q=insubject%3AFAQ+OR+insubject%3Aconseils+group%3Afr.sci.maths&scoring=d&filter=0 FAQ et CU]
- [news:fr.education.entraide.maths Forum francophone d'entraide]
- [http://groups.google.fr/groups?q=sci.math Forums Usenet anglophones]
- [http://mathworld.wolfram.com/ La plus complète des ressources en Mathématiques (en anglais)]
- [http://www.contraintes.net Un site consacré aux contraintes artistiques volontaires] et sa rubrique dédié aux [http://www.contraintes.net/index.php/Bande_dessin%C3%A9e_%C3%A0_contraintes mathématiques à contraintes]
- [http://www.aromath.net @romath] Un site entièrement consacré aux mathématiques et à leur enseignement dans les lycées français.
- [http://www.SoSMath.be SoSMath.be:Forum d'aide en Math (SoSMath.fr)]
- [http://www.aide-en-maths.com: Forum d'aide en Maths pour le secondaire (aide-en-maths.com)]
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Électronique

__NOTOC__ =Introduction= L’électronique est une science appliquée, c'est aussi l’un des arts de l’ingénieur. En raison du succès des appareil fonctionnant grâce à l'électronique et de leur impact sur la vie courante, le grand publique confond souvent l’électronique avec la cybernétique, ou science des automatismes, aussi bien que l'informatique dans sa partie matériel (hardware).
- Cet article commence par décrire l’électronique comme une branche de la connaissance. Les contributeurs se sont attachés à donner des renseignements sur l’état actuel de l’électronique, ne s’intéressant à l’électronique qu’en tant que discipline scientifique. Ils en fournissent une description selon le schéma suivant : # Objet d’étude; # Structures de connaissance; # Méthodes.
- L’article se poursuit ensuite avec des informations et des descriptions d'ordres pratiques, renvoyant bien souvent le lecteur à des articles plus détaillés sur de tel ou tel domaine particulier. __TOC__ =1ère Partie=

Définition

: L’électronique est une science technique ou science de l’ingénieur, qui étudie et conçoit les structures effectuant un traitement non linéaire des signaux électriques, c-à-d. courant électrique ou tension électrique, porteurs d’information ou d’énergie. Dans cette définition la notion de l’information est considérée dans le sens le plus large : elle désigne toute grandeur (physique, telle la température ou la vitesse, ou abstraite, tel un son, une image, un code) qui évolue en temps réel selon une loi inconnue à l’avance. Comme tous les automatismes, les systèmes électroniques bien conçus comportent deux parties :
- l’une, opérative, gère les signaux de puissance porteurs d'énergie (courants forts) ;
- l’autre, informationnelle, gère les signaux porteurs d’information (courants faibles). Dans les systèmes électroniques classiques traitant l’information, celle-ci est codée par les tensions et les courants électriques. Les applications de l’électronique peuvent être subdivisées selon la finalité de l’action qu’elles visent : le traitement de l’information à proprement parler ou la commande. Les premières englobent les domaines comme l’informatique, les télécommunications, les mesures (prélèvement et stockage de l’information), etc. Les applications de commande ont pour objet le contrôle du fonctionnement d’un système naturel ou technogène. Un contrôle implique généralement une mesure du paramètre contrôlé, sa comparaison avec le modèle et, en cas d’erreur, la génération d’une consigne de correction. Ainsi, un contrôle peut être vu comme une succession d’opérations de traitement du signal : ceci renvoie à la définition générale donnée plus haut.

Structure de la science : disciplines de l’électronique

L’électronique est une famille de disciplines se distinguant suivant le type de signal traité, la famille d’application ou encore le niveau hiérarchique qu’occupe l’élément étudié dans le système global.

Classement selon le type du signal traité

Signal informationnel analogique : électronique analogique

La discipline s’intéressant au traitement des signaux analogiques, c’est-à-dire évoluant d’une façon continue dans le temps et pouvant prendre des valeurs appartenant à un espace de valeurs continu s’appelle « électronique analogique ». La plupart des systèmes physiques le sont, car les grandeurs physiques évoluent le plus souvent d’une façon continue (par exemple, la température).

Signal informationnel numérique : électronique numérique

Par opposition, l’électronique numérique s’intéresse au traitement des signaux dont l’espace de valeurs est discret. Ainsi le nombre de valeurs que peuvent prendre ces signaux est limité. Celles-ci sont codées par des nombres binaires. Dans le cas le plus simple, un signal numérique ne peut prendre que deux valeurs : 1 et 0. L’électronique numérique est utilisée le plus souvent dans des systèmes contenant un microprocesseur ou un microcontrôleur. Par exemple, un ordinateur est un appareil constitué dans sa plus grande partie par de l’électronique numérique. A l’heure actuelle les circuits en électronique numérique sont en train de remplacer tous les circuits en électronique analogique. On peut observer ce changement directement en regardant les caméscopes ou les appareils photo numériques mais c’est vrai dans tous les domaines. Par contre, il ne faut pas oublier que comme les valeurs discrètes n’existent pas physiquement, des phénomènes d’électronique analogique peuvent survenir dans les circuits numériques, notamment dans les hautes fréquences. La fréquence (ou fréquence d’horloge), exprimée en Hertz (Hz) d’un circuit numérique représente le nombre de changements d’état possibles d’une valeur par seconde.

Électronique mixte

On parle également de l’électronique mixte, il s’agit alors d’un système dans lequel coexistent les signaux numériques et analogiques. Les modules particuliers à cette discipline sont le Convertisseur Numérique-Analogique (CNA) et le Convertisseur Analogique-Numérique (CAN). Ils permettent de transformer un signal analogique en signal numérique et vice versa, en réalisant ainsi une interface entre les modules purement analogiques et purement numériques. Par exemple, un thermomètre à affichage numérique prélève la température (qui est une grandeur analogique), mesure sa valeur, la code en une séquence numérique et puis l’affiche sur un écran. Ainsi, les deux premières opérations sont effectuées par des modules de l’électronique analogique, la troisième nécessite une conversion numérique-analogique et la dernière relève d’un traitement numérique.

Signal de puissance : électronique de puissance

L’électronique de puissance est l’ensemble des techniques qui s’intéressent à l’énergie contenue dans les signaux électriques, contrairement aux autres disciplines électroniques, qui elles s'intéressent principalement à l’information contenue dans ces signaux. La gamme de puissance traitée en électronique de puissance varie de quelques micro Watt à plusieurs Mégawatts. L’électronique de puissance repose sur des dispositifs permettant de changer la forme de l’énergie électrique, (convertisseurs) et des dispositifs transducteurs (le plus couramment des turbines et des moteurs électriques). L’électronique de puissance a comme champ d’application l’électrotechnique domestique et industrielle où elle remplace les anciennes solutions électromécaniques.

Classement suivant la hiérarchie de l’objet d’étude

D’une façon indépendante de l’application, certaines disciplines de l’électronique sont définies suivant la place qu’occupe l’objet de l’étude dans la hiérarchie d’un système électronique.

Physique des composants - technologies de l’électronique

Au niveau le plus bas se situe un composant, ou un dispositif électronique. La branche s’intéressant à la conception et à l’étude d’un composant électronique élémentaire s’appelle « physique des composants ». Elle est connexe au savoir-faire technologique, qui lui regroupe l’ensemble des connaissances et outils nécessaires pour fabriquer un composant. On parle ainsi de la « technologie de l’électronique ». Les domaines de la technologie et de la physique des composants électroniques font essentiellement appel aux compétences dans les sciences fondamentales, telles que la physique du solide et des procédés chimiques. Même si ces activités sont vitales pour l’électronique, elles ont peu à voir avec l’électronique en tant que génie du traitement du signal. On devrait plutôt les gérer comme une porte d’entrée du monde de la physique fondamentale vers la science appliquée qu’est l’électronique. Les composants de base de l’électronique sont les transistors, les résistances, les condensateurs, les diodes, etc.

Génie électronique : théorie et conception des circuits électroniques

Un circuit électronique est le principal objet d’étude de la science de l’électronique. Un circuit électronique est un système incluant plusieurs composants électroniques associés. Le mot circuit vient du fait que le traitement s’effectue grâce à des courants électriques circulant dans les composants interconnectés. La branche étudiant les propriétés des circuits électroniques s’appelle « théorie des circuits ». La discipline qui étudie la méthodologie permettant de réaliser une fonction de traitement particulière à base d’un circuit s’appelle « conception des circuits électroniques ». Les systèmes électroniques modernes comportent des centaines de millions de composants élémentaires. Pour cette raison le génie des circuits électroniques ne s’intéresse qu’à la réalisation de fonctions (ou modules) relativement simples, nécessitant quelques dizaines de composants.

Classement suivant la taille des circuits électroniques

Le classement précédent se recoupe avec un classement suivant la taille des circuits électroniques considérés.

Électronique des tubes à vide

Comme son nom l’indique, elle recourt à des tubes à vide, ou tubes électroniques comme composants actifs élémentaires (diodes à vide, triodes, tétrodes, pentodes...). Elle ne subsiste guère plus aujourd’hui que sous la forme des tubes cathodiques des récepteurs de télévision et de certains composants d’émetteurs radio de très forte puissance, et ces tubes-là sont d’ailleurs eux aussi en voie de disparition.

Électronique individuelle

Elle recourt à des composants élémentaires individuels ( non-intégrés) assemblés le plus souvent sur des cartes électroniques. Cette électronique n’est plus guère utilisée que pour des montages expérimentaux ou dans le cadre de l’électronique de loisir, car elle a été supplantée par la micro-électronique.

Micro-électronique

Ce vocable est né du processus de la miniaturisation des composants électroniques élémentaires. Cette miniaturisation a commencé dans les années cinquante avec la naissance des semi-conducteurs, elle a atteint une phase presque extrême aujourd’hui. En effet, depuis six décennies la taille des composants élémentaires n’a cessé de diminuer, pour atteindre des dimensions de l’ordre de quelques dizaines de nanomètres. Ces progrès sont devenus possibles grâce aux avancées dans les procédés de traitement des matériaux semi-conducteurs, notamment du silicium, qui ont permis de réaliser plusieurs millions de composants élémentaires sur une surface de quelques millimètres carrés. Ainsi, la micro-électronique s’intéresse aux systèmes électroniques utilisant des composants de dimensions micrométriques et nanométriques. L’expression « électronique intégrée » est un synonyme de ce vocable : elle évoque une ensemble de composants « intégrés » sur une seule puce de semi-conducteur.

Nano-électronique et électronique moléculaire

Par ailleurs, en parlant des systèmes de l’électronique moderne, le préfixe « micro » commence à être obsolète, dans la mesure où l’on voit apparaître des composants dont la taille se mesure en nanomètres et parfois comparable à celle des molécules. On évoque ainsi la nano-électronique, les nanotechnologies et l’électronique moléculaire. Des avancées techniques récentes permettent même d’envisager la conception de composants basés sur la propriété des électrons et de leur spin : la spintronique.

Microsystèmes

Depuis quelques années, avec les progrès dans les micro- et nano-technologies, on observe une fusion des systèmes appartenant à différents domaines techniques (mécaniques, thermiques, optiques...) autour des circuits et systèmes électroniques. Ces fusions sont souvent appelées « systèmes à traitement de signal multi-domaine », ou « systèmes multi-domaines ». A l’origine de ces progrès sont les procédés d’usinage du silicium très évolués, qui permettent de réaliser des structures tridimensionnelles sur les mêmes cristaux de silicium avec les circuits électroniques. Cette proximité offre une interpénétration des traitements traditionnellement se déroulant dans des domaines différents, et une coexistence des signaux de différentes natures physiques (thermique, mécanique, optique...) dans un même système.

Systèmes microélectromécaniques

Ainsi, dans les années 1990 la véritable révolution technologique a eu lieu avec l’apparition des systèmes micro-électro-mécaniques (en anglais MEMS comme MicroElectroMechanical Systems). Il s’agit de mécanismes classiques tels que des résonateurs, poutres, micromoteurs etc. réalisés sur silicium à l’échelle micrométrique. Ces différents éléments mécaniques sont mis en mouvement (actionnés) grâce aux forces générées par des transducteurs électromécaniques. Ceux-ci sont alimentés par des tensions produites avec des circuits électroniques avoisinants. Les transducteurs électromécaniques jouent alors le rôle de l’interface entre les domaines mécanique et électrique. Les transducteurs électrostatiques ou capacitifs y sont utilisés le plus souvent, bien que l’on puisse rencontrer des interfaces électromécaniques basées sur des phénomènes magnétiques et thermomécaniques. =2eme Partie=

Historique rapide

Depuis le début du 19 siècle, au fur et à mesure des découvertes des possibilités de l’électricité, les composants et applications électroniques ont vu le jour, (parfois sans possibilité d’application immédiate ou de fabrication industrielle, ces découvertes ne seront utilisées que plus tard). Sans électronique et bien évidemment l’alimentation en électricité indispensable à son fonctionnement, la vie dans notre société moderne serait bien différente. Voir aussi les composants électroniques en général.

Base théorique

Un composant est un élément permettant de construire un circuit électrique où circule un courant électrique.

Composants passifs


- Un composant est dit passif quand il obéit à la Loi D'ohm généralisée, c’est-à-dire quand la tension U aux bornes du composant varie linéairement avec l’intensité I du courant qui y circule, ou que : : U = Z.I + U_0 \,
- Ils n'ont pas pour fonction de modifier la nature du courant électrique qui les traverssent.
- Les composant dits passifs (résistance, condensateur, bobine, connecteur) ont vu leurs techniques de fabrication évoluer très sensiblement, suivant de près les améliorations technologiques.
- Par contre leur principe fondamentaux n’ont jamais été remis en question.

Composants actifs


- Un composant est dit actif lorsque celui-ci a pour but de modifier le ou les courants qui le traverse. Par exemple, les diodes, triode, les transistors, les thyristors, etc. sont des composants actifs.
- Au début, les composants actifs comprenaient uniquement des tubes électroniques.
- Depuis avec l'utilisation des semi-conducteur et entre autres l’invention du transistor en 1948, l’électronique grand public a envahie nos maisons, nos automobiles, le téléphone et toutes les machines de la vie courante.
- Les circuits intégrés, évolution intégré du transistor, gagnent de jour en jour en densité. Ceux-ci ont favorisé l’explosion de l’électronique moderne: analogique et surtout numérique.
- L’ère des micro-ordinateurs a pu voir le jour grâce aux avancées de l’électronique numérique.
- Lors des deux dernières décennies du , l’électronique a été associée aux possibilités de la lumière et de l’optique (laser et fibre optique) : l’Opto-électronique, pour fabriquer de nouvelles générations de machines électroniques.

Articles décrivant l’électronique

Électronique analogique


- Amplificateur
- Bobine
- Commutateur
- Condensateur
- Filtre
- Inductance
- Radioélectricité
- Radiophonie
- Résistance
- Téléphonie
- Télévision
- Transistor
- Tube
- Diode

Électronique numérique


- Automate
- DSP
- Fonction logique, TTL CMOS
- Microprocesseur
- Microcontrôleur
- Ordinateur
- Réseau informatique
- Réseaux logiques programmables
- Semi-conducteur
- Table de Karnaugh
- Télécommunication
- Transistor

Optoélectronique


- Fibre optique
- LED
- Laser

externe


- [http://www.stielec.ac-aix-marseille.fr/cours/abati/opto.htm Optoélectronique]

Métiers de l’électronique


- Électronicien
- Ingénieur en électronique
- Technicien en fabrication électronique

Outillage

- De base


- Alimentation réglable
- Fer à souder
- Multimètre
- Jeux de pinces
- Jeux de tournevis

- Évolué


- Analyseur logique, Émulateur
- Echomètre
- Générateur de signaux
- Oscilloscope
- Programmateur logique
- Simulateur logique
- Synthese logique
- Testeur de composant

Divers


- Alimentation.
- Protection.
- Codes DTMF.
- Micro-électronique.
- Électrotechnique.

Articles connexes


- Électrocinétique
- Électricité
- Algèbre de Boole
- Connectique
- Fonction logique
- Systèmes embarqués
- Langage de description matériel (HDL) = Liens externes =
- [http://perso.wanadoo.fr/f6crp/elec/index.htm Un traité d’électronique par F6CRP]
- [http://www.powerdesigners.com/InfoWeb/resources/pe_html/contents.htm Interactive Power Electronics Online course]
- [http://stielec.ac-aix-marseille.fr/ Ressources en génie électronique] catégorie:Électricité
- Electronique ja:電子工学 ko:전자공학 ms:Elektronik simple:Electronics th:อิเล็กทรอนิกส์

George Boole

George Boole (Lincoln, Royaume-Uni, 2 novembre 1815 - Ballintemple, Irlande,8 décembre 1864), est un logicien, mathématicien et philosophe de nationalité britannique. britannique Autodidacte, il publia ses premiers travaux d'algèbre tout en exerçant son métier d'instituteur et de directeur d'école dans la région de Lincoln. Ses travaux lui valurent en 1844 la Royal Medal de la Royal Society, puis une chaire de Mathématiques à l'université (Queen's College) de Cork en 1849. Il est le créateur de la logique moderne portant son nom (logique booléenne), aussi appelée Algèbre de Boole. Ses travaux sur la logique sont exposés dans deux traités : Mathematical Analysis of Logic (1847) et An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Boole a aussi travaillé dans d'autres domaines mathématiques, des équations différentielles aux probabilités en passant par l'analyse. Sa fille, Ethel Lilian Boole, se mariera avec Wilfrid Voynich en 1893. [http://stielec.ac-aix-marseille.fr/cours/abati/algboole.htm Algèbre de Boole] Boole, Georges Boole, Georges Boole, Georges Boole, Georges ja:ジョージ・ブール ko:조지 불

Système formel

Un système formel est un ensemble de formules, ou expressions formelles, que l’on peut interpréter comme des noms, des phrases, ou de toute autre façon. Ils sont des ensembles fondamentaux pour la logique et les mathématiques.

Exemples


- Les ensembles de nombres, entiers, rationnels, algébriques, peuvent être définis comme des systèmes formels, mais pas les ensembles qui contiennent tous les nombres transcendants, réels ou complexes.
- La nomenclature de la chime organique est un système formel.
- Une théorie est un ensemble de phrases, ou de propositions, et est donc un système formel.

Problèmes généraux

Les théories générales des systèmes formels ont été conçues par des logiciens surtout pour étudier les théories. De ce point de vue on peut les considérer comme des métathéories générales, des théories de toutes les théories. Les trois problèmes fondamentaux pour les théories des systèmes formels sont : - Comment définit-on des ensembles de formules ? - Comment interprète-t-on les formules qui parlent des formules et des ensembles de formules ? - Comment prouve-t-on des vérités à propos des ensembles de formules ? Le point de vue formel introduit une limitation. On se soucie peu de la signification des mots ou des symboles. Les théories n’y sont pas considérées comme des fenêtres sur le monde réel. Elles sont opaques. Elles ne contiennent que des assemblages de mots et on se soucie d’abord de leurs formes, pas de leurs significations. D’où le nom de point de vue formaliste.

Les théories axiomatiques

Un système formel est souvent construit en se donnant un ensemble d'axiomes et en raisonnant à partir de ces axiomes à l'aide de la logique usuelle. Par exemple, la théorie axiomatique des ensembles est un systeme formel. Rappelons d'abord qu'un axiome est une proposition non démontrée qui sert de point de départ à un raisonnement ( par exemple « par deux point il passe une et une seule droite » est un axiome de la géométrie euclidienne ). Un théorème est une proposition déduite à partir des axiomes, en un nombre fini d’étapes, avec les règles de la logique. Si les règles de déduction sont valides, un théorème est vrai pourvu que les axiomes soient vrais. La vérité des axiomes ou des formules est définie relativement à un modèle, un univers possible, dans lequel les formules sont interprétées.

L’énumérabilité des théories axiomatiques

Les systèmes formels de base sont des ensembles énumérables. Intuitivement, ce sont tous les ensembles pour lesquels on peut donner un procédé mécanique d’énumération de tous leurs éléments. Une théorie axiomatique est toujours énumérable, pour les raisons suivantes.
- La liste, finie ou infinie, de ses axiomes, est toujours décidable, parce qu’on veut savoir précisément ce qui est et ce qui n’est pas un axiome.
- Les méthodes formelles imposent que les règles de déduction aient un caractère mécanique, qu’elles puissent être appliquées aveuglémént par une machine. L’ensemble des preuves formelles est donc toujours décidable. Si on présente une preuve formalisée à un ordinateur convenablement programmé, il répond si oui ou non la preuve est correcte, si oui ou non elle commence par des axiomes et respecte les règles de déduction. La théorie, c’est-à-dire l’ensemble des théorèmes, ou formules prouvables à partir des axiomes, est énumérable, parce qu’on peut définir un ordre sur l’ensemble de toutes les listes finies de formules. Soit une formule F dont on veut savoir si elle est un théorème. L’ordinateur examine chaque liste finie de formules une par une et décide si oui ou non elle est une preuve formelle. Si oui, alors la dernière formule de la liste est un théorème. Si cette formule est F alors l’ordinateur s’arrête et répond que F est un théorème. Dans les autres cas, l’ordinateur examine la liste finie suivante. Si F est vraiment un théorème, un ordinateur ainsi programmé trouvera toujours la réponse, parce qu’il examine toutes les preuves formelles possibles. Mais il mettra beaucoup de temps, beaucoup trop pour que cette méthode soit réellement efficace pour nous simples mortels. Si F n’est pas un théorème, l’ordinateur ne s’arrête jamais, il examine sans arrêt de nouvelles listes, il trouve de nouvelles preuves, mais il ne trouvera jamais de preuve de F, puisque F n’est pas un théorème. Une théorie axiomatique est donc toujours énumérable mais il n’est pas sûr a priori qu’elle soit décidable. Un « bon » système formel S doit être cohérent. S est cohérent s'il ne permet pas de démontrer une contradiction (formellement : s'il n'existe pas de proposition A telle que S démontre A et non A) S'il n'est pas cohérent et le principe du raisonnement par l'absurde est accepté parmi les règles de déduction logique alors toutes les formules sont prouvables. Un système qui prouve tout et son contraire ne prouve rien du tout. Kurt Gödel a montré au début du siècle que tout système formel un tant soit peu complexe contenait des propositions vraies mais non démontrables (voir Théorème d'incomplétude de Gödel).

Voir également


- la définition de Smullyan des ensembles énumérables

Sources


- Raymond Smullyan, ‘’Theory of formal systems’’ Catégorie:Logique mathématique Catégorie:Mathématiques Catégorie:Épistémologie

Claude Shannon

Claude Elwood Shannon (30 avril 1916 - 24 février 2001), ingénieur électrique, est l'un des, si ce n'est le, pères fondateurs de la théorie de l'information.

Biographie

Il étudia le génie électrique et les mathématiques à l'Université du Michigan en 1932. Il utilisa notamment l'algèbre Booléenne pour son Masters soutenu en 1938 au MIT. Il y expliqua comment construire des machines à relais en utilisant l'algèbre de Boole pour décrire l'état des relais (1 : fermé, 0 : ouvert). En 1948, il publia un article en deux parties, A Mathematical Theory of Communications, qui fut repris en 1949 sous forme de livre avec un ajout de Warren Weaver (ISBN 0252725484). Cet ouvrage est centré autour de la problématique de la transmission de l'information d'un émetteur vers un récepteur. Dans ces publication, il popularisa l'utilisation du mot bit pour representer l'élément de base d une source d'information numérique. Il n'en est cependant pas l'inventeur (John W. Tukey fut le premier à utiliser le terme). Il travailla 20 ans au MIT, de 1958 à 1978. Parallèlement à ses activités académiques, il travailla aussi aux laboratoires Bell de 1941 à 1972. Claude Shannon était connu non seulement pour ses travaux dans la télécommunication, mais aussi pour l'étendue et l'originalité de ses hobbies, comme la jonglerie, la pratique du monocycle et l'invention de machines farfelues : une souris mécanique sachant trouver son chemin dans un labyrinthe, un robot jongleur, un joueur d'échecs (roi tour contre roi)... Souffrant de la maladie d'Alzheimer dans les dernières années de sa vie, Claude shannon est mort à 84 ans le 24 Février 2001.

Entropie au sens de Shannon

voir aussi l'article détaillé : Entropie de Shannon Un apport essentiel des travaux de Shannon concerne la notion d'entropie. Si l'on considère N événements de probabilité p1, p2... pN, indépendantes les unes des autres, alors leur entropie de Shannon est définie comme : Entropie = - \sum_^N p_i \log_2(p_i) Il a par ailleurs :
- établi un rapport entre augmentation d'entropie et gain d'information ;
- montré l'équivalence de cette notion avec l'entropie de Ludwig Boltzmann en thermodynamique. La découverte du concept ouvrait ainsi la voie aux méthodes dites d'entropie maximale (voir probabilité), donc au scanner médical, à la reconnaissance automatique des caractères et à l'apprentissage par les machines.

Voir aussi

Liens internes


- Théorie de l'information
- Inférence bayésienne

Liens externes


- Claude E.Shannon [http://pespmc1.vub.ac.be/books/Shannon-TheoryComm.pdf A mathematical theory of communication Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379-423 and 623-656, July and October, 1948]
- J. Segal, [http://livre01.free.fr Le Zéro et le Un], Syllepse, Paris, 2003 Shannon, Claude Shannon, Claude Shannon, Claude Shannon, Claude ja:クロード・シャノン ko:클로드 샤논

Loi de composition

En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de deux ensembles E et F dans un troisième ensemble G, avec G égal à E ou à F. Quand nous définissons sur un ensemble E un nombre fini de lois de composition vérifiant certaines conditions, nous munissons l’ensemble d’une structure algébrique. Les conditions vérifiées par les lois s’appellent les axiomes de la structure de E.

Notion de loi

Une loi (de composition)
- : E × F → G, avec G = E ou G = F, est une application de E × F dans G qui associe à chaque couple ( x , y ) de E × F, un élément de G noté habituellement « x
- y » (au lieu de la notation fonctionnelle «
- ( x , y ) ») et appelé composé de x et de y, ou encore produit de x et y. x et y sont parfois qualifiés d’opérandes, car une loi n’est qu’un cas particulier d’opération. G doit être égal à E ou à F. Plus précisément :
- si E = F = G, la loi
- : E × E → E est appelée loi de composition interne dans E;
- si E ≠ F et G = F, la loi
- : E × F → F est appelée loi de composition externe à gauche sur F ou loi de composition externe, et E est alors le domaine des opérateurs;
- si E ≠ F et G = E, la loi
- : E × F → E est appelée loi de composition externe à droite sur E de domaine F.

Remarque

Il existe plusieurs notations pour les lois :
- la plus courante est la notation infixe; elle est plus « parlante», mais nécessite le recours à des parenthèses pour préciser l’ordre d’exécution des opérations, s’il y en a plusieurs : : x
- y \,
- une variante en est la notation par juxtaposition, où le symbole de la loi est omis : : x y \,
- la notation préfixe, ou polonaise, se passe de parenthèses : :
- x y \,, parfois
- x , y \,
- la notation suffixe, ou polonaise inverse, se passe aussi de parenthèses : : x y
- \,, parfois x , y
- \,

Exemples


- Un produit scalaire sur un \mathbb-espace vectoriel E est une loi de E× E dans \mathbb.
- l’exponentiation entière des réels est une loi de \mathbb\times \mathbb dans \mathbb;
- les exemples les plus courants de lois de composition sont les opérations arithmétiques, comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division; attention toutefois, ce ne sont pas toujours des lois de composition : ainsi, la soustraction n’est pas une loi de composition dans \mathbb \,;
- un exemple de multiplication externe est la multiplication d’un vecteur par un scalaire en algèbre linéaire.

Lois internes

Les lois internes sont la clef de voûte des structures algébriques étudiées en algèbre abstraite; elles font partie des groupes, des monoïdes, des semi-groupes, des anneaux, etc. La structure générale de magma est un ensemble muni d’une loi de composition interne quelconque. Beaucoup de lois internes sont commutatives ou associatives, et ont souvent un élément neutre et des éléments symétrisables. Les exemples typiques de telles lois sont l’addition (notée +) et la multiplication (notée ×) des nombres ou des matrices et aussi la composition d'applications d’un ensemble dans lui-même. Toutefois, la multiplication des matrices ou la composition des applications ne sont pas en général commutatives. Des exemples de lois qui ne sont jamais commutatives sont la soustraction (notée -) ou la division (notée ÷ ou :).

Lois externes

Par rapport à une loi interne, une loi externe fait intervenir des éléments de l’extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi externe E × F → F peut être vue comme une opération de E sur F et on dit que E opère sur F.

Voir aussi


- Loi de composition interne
- Loi de composition externe
- Structure algébrique
- Algèbre abstraite catégorie:Algèbre Composition

Fonction logique

Les types de fonctions logique

Il existe deux grands types de fonctions logiques :
- les fonctions logiques "combinatoire" bases du calcul booléens : Qui résulte de l'analyse combinatoire des variations des grandeurs d'entrées uniquement.
- les fonctions logiques "séquentielle" ou : bascule, résultant de l'association de plusieurs fonctions logique "combinatoire" : Les grandeurs de sorties dépendent, de la variation des grandeurs d'entrées mais également de la valeurs de la sortie à l'instant précédent. Les fonctions logiques "combinatoire" directement issues des mathématique (algèbre de Boole) sont les outils de base de l'électronique numérique animant automatisme et informatique. Elles sont utilisées en électronique sous forme de portes logiques.
- Ces portes électroniques sont construites à partir de plusieurs transistors reliés entre eux.
- Selon la modélisation utilisée, on prendra en compte les temps de retard ou pas dans les calculs.

Classification

Les portes peuvent se classer suivant leur nombre d'entrées :
- « Portes » sans entrée : VRAI,- FAUX.
- Porte à une entrée : NON.
- Portes à deux entrées : ET, NON-ET, OU, NON-OU OU exclusif, coïncidence dite aussi NON-OU exclusif ou équivalence, implication.
- À partir de trois entrées, le nombre de fonctions commence à subir l'influence de l'explosion combinatoire. On note toutefois l'existence de : ET, OU, etc. à plus de deux entrées. Des fonctions plus complexes, bascule, compteur, additionneur voire puce complète. Ces fonctions sont entre autres utilisées dans les fonctions de chip select indispensables à l'adressage mémoire, ou pour le multiplexage.

Représentation

Pour définir chacune des fonctions logiques, nous donnerons plusieurs représentations :
- une représentation électrique : schéma développé à contacts
- une représentation algébrique : équation
- une représentation arithmétique : table de vérité
- une représentation temporelle : chronogramme
- une représentation logique : symbole logique

Fonction OUI

Exemple : une lampe est montée en série avec le contact, elle s'allume quand le contact « a » est actionné. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(1-a).png ; Équation : L = a ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(1-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(1-e).png ;Voir aussi
- identité
- relation d'équivalence

Fonction NON

NON (NOT en anglais)
Exemple : une lampe est montée en série avec le contact, elle s'éteint quand le contact « a » est actionné. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(2-a).png ; Équation : L = \bar : L = ¬A ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(2-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(2-e).png

Fonction ET

ET (AND en anglais)
Exemple : une lampe s'allume si l'on appuie sur « a » ET « b » et seulement dans ce cas là. La fonction « ET » est caractérisé par des contacts montés en série. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(3-a).png ; Équation : L = a \cdot b ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(3-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(3-e).png ; Conjonction : P ∧ Q

Fonction OU

OU (OR en anglais)
Exemple : une lampe s'allume si l'on appuie sur « a » OU « b » à plus forte raison si l'on appuie sur « a » et sur « b ». La fonction « OU » est caractérisée par des contacts montés en parallèle. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(4-a).png ; Équation : L = a + b ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(4-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(4-e).png ; Disjonction : P ∨ Q

Fonction OU exclusif

OU exclusif (XOR en anglais)
Exemple : une lampe s'allume si l'on appuie sur « a » ou « b » seulement, mais pas si l'on appuie sur « a » et « b » simultanément. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(5-a).png ; Équation : L = a \oplus b ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(5-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(5-e).png Pour plus de détail : OU exclusif

Fonction NON-ET

NON-ET (NAND en anglais)
Exemple : une lampe s'allume sauf si l'on appuie sur « a » et « b » et seulement dans ce cas là. La fonction « NON-ET » est caractérisé par des contacts montés en parallèle. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(6-a).png ; Équation : L = \overline = \bar + \bar ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(6-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(6-e).png

Fonction NON-OU

NON-OU (NOR en anglais)
Exemple : une lampe s'allume sauf si l'on appuie sur « a » ou « b » et seulement dans ce cas là. La fonction « NON-OU » est caractérisé par des contacts montés en série. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(7-a).png ; Équation : L = \overline = \bar . \bar ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(7-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(7-e).png

Universalité de l'opérateur NON-ET

Fonction NON

Image:Fonctions_logiques(8-1).png

Fonction OU

Image:Fonctions_logiques(8-2).png

Fonction OU exclusif

Image:Fonctions_logiques(8-9).png

Universalité de l'opérateur NON-OU

Fonction NON

Image:Fonctions_logiques(9-1).png

Fonction OU

Image:Fonctions_logiques(9-2).png

Fonction ET

Image:Fonctions_logiques(9-3).png

Voir aussi


- Sortance
- Table de Karnaugh Catégorie:Électronique Catégorie:Logique Catégorie:Automatisme ja:論理回路

OU exclusif

Le OU exclusif (eXclusive OR) est un opérateur logique de l'algèbre de boole très utilisé en électronique mais aussi en cryptographie du fait de ses propriétés très intéressantes. Son symbole est traditionnellement un signe plus dans un cercle: « ⊕ ». Cependant, cet opérateur fait double emploi avec le signe mathématique "différent de", qui sur des valeurs booléennes a exactement la même signification. Comme on peut le voir dans sa table de vérité, l'opérateur logique OU Exclusif peut se définir par la phrase suivante: :La sortie est VRAI équivaut à dire que seulement l'une des entrées est VRAI A et B sont les deux opérandes et S la sortie. On dit que S est à l'état haut (est égal à 1) quand A « ou » B sont à un. Le « ou » est à prendre au sens l'un ou l'autre mais pas les deux en même temps : «Voulez-vous du café ou du thé». On peut aussi dire que l'état haut se produit quand A et B sont différents, ce qui simplifie la compréhension. S = A ⊕ B = A.B| + A|.B Cet opérateur nous permet de faire au niveau des bits ce que l'on fait déjà depuis des centaines d'années au niveau des caractères. Et quand on sait qu'un caractère est généralement représenté dans un ordinateur par 8 bits, on voit assez facilement la possibilité de complexifier les chiffrements. Quelques propriétés :
- A ⊕ A = 0 (A étant toujours identique à lui-même, le résultat sera obligatoirement 0)
- A ⊕ 0 = A
- A ⊕ 1 = A|
- A ⊕ A| = 1
- commutativité A ⊕ B = B ⊕ A
- associativité A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C
- A ⊕ B = A ⊕ B ⊕ A.B
- A ⊕ B = C alors C ⊕ B = A
---- Explication de cette dernière propriété : Créons 4 bits, (A, B, C et H) tels que : A ⊕ B = C et C ⊕ B = H Le but de cette démonstration est de prouver que H = A En « Xorisant » membre à membre les égalités précédentes on obtient : (A ⊕ B) ⊕ (C ⊕ B) = C ⊕ H ce qui ici, en vertu de la commutativité du « Xor », est équivalent à : (A ⊕ B) ⊕ (B ⊕ C) = H ⊕ C ou encore, en vertu de l'associativité, à : A ⊕ B ⊕ B ⊕ C = C ⊕ H ce qui équivaut à A ⊕ C = H ⊕ C ce qui implique : A = H Ainsi on a bien : A ⊕ B = C et C ⊕ B = A

Cryptographie

Voir aussi l'article : masque jetable En considérant A comme étant le bit en clair (non chiffré) et B le bit de la clé de chiffrement. Après l'opération on obtient un bit C qui sera le bit une fois chiffré. Enfin, si on effectue une nouvelle opération avec C (le bit chiffré) et B (la clé), on retrouve le bit A non chiffré d'origine. C'est le principe de chiffrement symétrique, la même clé permet de chiffrer et déchiffrer un message. Ce système, bien que très « simple », peut s'avérer inviolable si la clé, générée aléatoirement, est au moins aussi longue que le message à chiffrer et qu'elle ne soit utilisée qu'une seule fois (on parle de masque jetable, ou encore de «one-time pad»). Dans cette phrase, c'est surtout le mot «aléatoirement» qui s'avère être le plus difficile à mettre en œuvre. En revanche, lorsque la clé est vraiment aléatoire --- techniquement, qu'elle est tirée selon la distribution uniforme parmi les clés possibles --- ce système est parfaitement sûr, en un sens rigoureusement défini par Claude Shannon, en 1949, dans un article fondateur «Communications theory of secrecy systems». Il convient d'ajouter que c'est le seul chiffrement qui satisfait cette sécurité absolue en théorie.

Problème annexe

Corollaire : tout fichier licite peut être transformé en fichier illicite de même taille par un ou exclusif avec un fichier donné facile à créer de toutes pièces (puisque c'est le ou exclusif du fichier licite et de l'illicite), ce qui rend l'opération de preuve de culpabilité très délicate et non exempte d'arbitraire.

Application

Maintenant, voici la mise en application de tout cela grâce à un exemple: A = 0110101011010100 (message en clair) B = 0101011011100110 (la clé; à garder secrète bien évidemment) Chiffrement: S = A ⊕ B S = 0011110000110010 (message chiffré) Déchiffrement: A = S ⊕ B A = 0110101011010100 (message déchiffré) Sans la clé, il est impossible de déchiffrer le message puisque n'importe quel message M de longueur égale au message original est un déchiffrage possible. Il suffit pour cela de prendre la clé C = S ⊕ M.

Histoire

Ce système de chiffrement a été utilisé pour le téléphone rouge, en fait un telex, reliant directement le Kremlin à la Maison Blanche, les clés transitant alors par valises diplomatiques. Le système de masque jetable était également employé par les espions soviétiques. Certains masques furent utilisés plus d'une fois (parfois avec des années d'intervalle) ce qui permit aux services du chiffre anglais de déchiffrer certains messages. Ou Exclusif Ou Exclusif Ou Exclusif Ou Exclusif ja:排他的論理和

Table de Karnaugh

Cet article explique ce qu'est un tableau de Karnaugh, seulement dans une application logique binaire. Cet article n'explique pas les principes de base de la logique. Pour cela, voir l'article Fonctions logiques. Un tableau de Karnaugh sert à simplifier des équations logiques ou à trouver l'équation logique correspondant à une table de vérité. La méthode utilisée est graphique et simple. Elle utilise également le binaire réfléchi ou Code Gray.

Principe

Le tableau de Karnaugh est un tableau étudié pour pouvoir trouver la plus simple équation d'une table de vérité. Elle se présente comme ceci : Bien sûr, il peut y avoir plus ou moins de 4 variables (Ici A, B, C et D).
- La colonne 1 correspond aux valeurs de S pour C=0 et D=0
- La colonne 2 correspond aux valeurs de S pour C=0 et D=1
- La colonne 3 correspond aux valeurs de S pour C=1 et D=1
- La colonne 4 correspond aux valeurs de S pour C=1 et D=0
- La ligne 1 correspond aux valeurs de S pour A=0 et B=0
- La ligne 2 correspond aux valeurs de S pour A=0 et B=1
- La ligne 3 correspond aux valeurs de S pour A=1 et B=1
- La ligne 4 correspond aux valeurs de S pour A=1 et B=0 Ainsi, la case de la colonne 2 de la ligne 4 correspond à la valeur de S pour laquelle A=1, B=0, C=0 et D=1. Sa valeur peut-être trouvée dans la table de vérité ou par une équation à simplifier. On remplit de cette manière le tableau de Karnaugh. Les valeurs du tableau de Karnaugh correspondent au valeurs de la table de vérité suivante :

Méthode de recherche de l'équation

Pour trouver l'équation de S, c'est simple. Il y a deux méthodes :
- Former une somme
- Former un produit

La somme

Pour trouver une somme, il faut regrouper les valeurs de S égales à 1. Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais il doivent englober tous les 1. Un 1 peut être compris dans plus d'un groupe, mais un 0 ne doit être inclus dans aucun. Il doivent être composé de colonne(s) et/ou de ligne(s). Si possible, il faut les assembler par valeurs d'entrées communes. Par exemple la colonne 2 et la colonne 3 ont pour valeur commune D=1. La ligne 1 et la ligne 4 ont la valeur B=0 en commun; Pour les tables de 4 variables, il faut faire de préférence :
- le rectangle 16 cases,
- puis les rectangles 8 cases, Code Gray
- puis les rectangles 4 cases,
- puis les rectangles 2 cases,
- et enfin les cases uniques. Dans l'exemple pris ci-dessus, On peut former un rectangle de 8 cases, puis un de 4 : le rectangle des colonnes 2 et 3 et le carré au croisement des lignes 2-3 et des colonnes 3-4. Le rectangle correspond à l'équation « D » car dans ces deux colonnes, D est toujours égal à 1, et dans ces deux colonnes uniquement. Le carré correspond à l'équation « B·C » car dans ces cases et dans ces cases seulement B=1 et C=1. On fait ensuite la somme des deux équations et on obtient pour équation de S : « S = D + B·C ». Cette méthode, une fois assimilée, permet de trouver une équation au premier coup d'œil, et propose une alternative simple à la simplification d'équation, qui peut rapidement devenir fastidieuse.

Le Produit

Cette méthode a pour but non pas de regrouper les « 1 » mais les « 0 », pour trouver non pas une somme de produits mais un produit de sommes.

Utilisation

Les tables/tableaux de Karnaugh sont surtout utilisé(e)s en électronique. En effet, la simplification de l'expression algébrique booléenne permet d'économiser des opérateurs logiques (portes logiques) et donc des circuits. Elle engendre aussi une économie de temps de conception et de fonds, tout en augmentant la fiabilité de l'ensemble.

Voir aussi


- Système binaire
- Électronique numérique
- Algèbre de Boole Catégorie:Automatisme Catégorie:Logique

Arité

Catégorie:Algèbre abstraite En mathématiques, l'arité d'une fonction ou d'un opérateur est le nombre d'arguments ou d'opérandes qu'elle requiert. Une fonction ou un opérateur peuvent donc être décrits comme unaires, binaires, ternaires, etc. Des termes comme 7-aire ou n-aire sont aussi utilisés. L'addition de deux nombres, par exemple, est une fonction binaire. La fonction inverse, qui associe à un élément son inverse, est une fonction unaire. Quelquefois il est utile de considérer une constante comme un opérateur ou une fonction d'arité 0 appelés nulaire (ou encore anaire). Par exemple une formulation de l'axiome du choix prétend que pour chaque ensemble non vide, il existe une fonction nulaire qui peut être utilisée pour prendre une valeur dans l'ensemble.

Fonction logique

Les types de fonctions logique

Il existe deux grands types de fonctions logiques :
- les fonctions logiques "combinatoire" bases du calcul booléens : Qui résulte de l'analyse combinatoire des variations des grandeurs d'entrées uniquement.
- les fonctions logiques "séquentielle" ou : bascule, résultant de l'association de plusieurs fonctions logique "combinatoire" : Les grandeurs de sorties dépendent, de la variation des grandeurs d'entrées mais également de la valeurs de la sortie à l'instant précédent. Les fonctions logiques "combinatoire" directement issues des mathématique (algèbre de Boole) sont les outils de base de l'électronique numérique animant automatisme et informatique. Elles sont utilisées en électronique sous forme de portes logiques.
- Ces portes électroniques sont construites à partir de plusieurs transistors reliés entre eux.
- Selon la modélisation utilisée, on prendra en compte les temps de retard ou pas dans les calculs.

Classification

Les portes peuvent se classer suivant leur nombre d'entrées :
- « Portes » sans entrée : VRAI,- FAUX.
- Porte à une entrée : NON.
- Portes à deux entrées : ET, NON-ET, OU, NON-OU OU exclusif, coïncidence dite aussi NON-OU exclusif ou équivalence, implication.
- À partir de trois entrées, le nombre de fonctions commence à subir l'influence de l'explosion combinatoire. On note toutefois l'existence de : ET, OU, etc. à plus de deux entrées. Des fonctions plus complexes, bascule, compteur, additionneur voire puce complète. Ces fonctions sont entre autres utilisées dans les fonctions de chip select indispensables à l'adressage mémoire, ou pour le multiplexage.

Représentation

Pour définir chacune des fonctions logiques, nous donnerons plusieurs représentations :
- une représentation électrique : schéma développé à contacts
- une représentation algébrique : équation
- une représentation arithmétique : table de vérité
- une représentation temporelle : chronogramme
- une représentation logique : symbole logique

Fonction OUI

Exemple : une lampe est montée en série avec le contact, elle s'allume quand le contact « a » est actionné. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(1-a).png ; Équation : L = a ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(1-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(1-e).png ;Voir aussi
- identité
- relation d'équivalence

Fonction NON

NON (NOT en anglais)
Exemple : une lampe est montée en série avec le contact, elle s'éteint quand le contact « a » est actionné. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(2-a).png ; Équation : L = \bar : L = ¬A ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(2-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(2-e).png

Fonction ET

ET (AND en anglais)
Exemple : une lampe s'allume si l'on appuie sur « a » ET « b » et seulement dans ce cas là. La fonction « ET » est caractérisé par des contacts montés en série. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(3-a).png ; Équation : L = a \cdot b ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(3-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(3-e).png ; Conjonction : P ∧ Q

Fonction OU

OU (OR en anglais)
Exemple : une lampe s'allume si l'on appuie sur « a » OU « b » à plus forte raison si l'on appuie sur « a » et sur « b ». La fonction « OU » est caractérisée par des contacts montés en parallèle. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(4-a).png ; Équation : L = a + b ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(4-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(4-e).png ; Disjonction : P ∨ Q

Fonction OU exclusif

OU exclusif (XOR en anglais)
Exemple : une lampe s'allume si l'on appuie sur « a » ou « b » seulement, mais pas si l'on appuie sur « a » et « b » simultanément. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(5-a).png ; Équation : L = a \oplus b ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(5-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(5-e).png Pour plus de détail : OU exclusif

Fonction NON-ET

NON-ET (NAND en anglais)
Exemple : une lampe s'allume sauf si l'on appuie sur « a » et « b » et seulement dans ce cas là. La fonction « NON-ET » est caractérisé par des contacts montés en parallèle. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(6-a).png ; Équation : L = \overline = \bar + \bar ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(6-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(6-e).png

Fonction NON-OU

NON-OU (NOR en anglais)
Exemple : une lampe s'allume sauf si l'on appuie sur « a » ou « b » et seulement dans ce cas là. La fonction « NON-OU » est caractérisé par des contacts montés en série. ; Schéma : Image:Fonctions_logiques(7-a).png ; Équation : L = \overline = \bar . \bar ; Table de vérité : ; Chronogramme : Image:Fonctions_logiques(7-d).png ; Symbole : Image:Fonctions_logiques(7-e).png

Universalité de l'opérateur NON-ET

Fonction NON

Image:Fonctions_logiques(8-1).png

Fonction OU

Image:Fonctions_logiques(8-2).png

Fonction OU exclusif

Image:Fonctions_logiques(8-9).png

Universalité de l'opérateur NON-OU

Fonction NON

Image:Fonctions_logiques(9-1).png

Fonction OU

Image:Fonctions_logiques(9-2).png

Fonction ET